APLICACIONES DERIVADAS EN LA ACTUALIDAD

¿Qué son las derivadas?

La derivada de una función en un punto es el valor que tiene la pendiente de la tangente en ese punto concreto. La pendiente viene determinada por la tangente del ángulo que forma la tangente a la curva de la función.

La derivada de una función mide la variación de esa función. Su variación indica el crecimiento o decrecimiento de la función.

En la imagen se puede observar como es el crecimiento de una función.

Para designar la derivada en un punto se utiliza el símbolo y para indicar las siguientes derivadas se usan los siguientes símbolos:

F'(a), para la segunda derivada

F''(a), para la tercera derivada

F'''(a), para indicar la tercera derivada... Y así sucesivamente

La derivada de una función también muestra donde la función es creciente o decreciente; para averiguarlo se toma un punto de la función del que se sabe la pendiente de la tangente, el signo de la derivada () determina si la función crece o decrece.

En el punto B la derivada es negativa, por lo que la función es decreciente, en el punto D la derivada es positiva y la función creciente.

En el punto A hay un máximo relativo y en el punto C un mínimo relativo.

Para hallar los máximos y mínimos de una función se calcula la segunda derivada de la función y se observa la segunda derivada; si es positiva es que existe un mínimo relativo y si es negativa existe un máximo relativo.

De la segunda derivada también podemos obtener los intervalos de concavidad y convexidad de una función.

Aplicaciones de las derivadas

El uso de derivadas y sus aplicaciones es muy variado, las derivadas son útiles en economía, psicología, medicina, administración, ingeniería, electricidad, electrónica, termodinámica, mecánica, biología, etc.

Se utilizan para la optimización de recursos para tratar de ocupar el mínimo espacio, tiempo o materiales en algo o maximizar su espacio; en medicina para obtener un cálculo aproximado de la velocidad de reproducción de virus, bacterias etc.

En física donde la primera derivada se utiliza para la velocidad y la segunda para la aceleración.

En definitiva las derivadas se suelen usar para relacionar dos magnitudes, en la vida cotidiana se usan con mucha frecuencia y a veces sin darnos cuenta.

Derivadas en economía

El uso de derivadas en economía es muy importante, gracias a las derivadas se puede calcular el producto marginal, funciones económicas y procesos de optimización entre otros usos.

La derivada es muy útil para realizar cálculos marginales, hallar la razón de cambio cuando se incrementa una unidad adicional, es decir, para medir el cambio instantáneo en la variable dependiente al realizar un pequeño cambio en la segunda variable.

Costo Marginal

En el aspecto económico, el costo marginal es el costo de la última unidad producida. Corresponde a los costos variables implicados por el crecimiento de la producción de una unidad del bien, en la medida en que los gastos fijos han sido ya repartidos sobre las unidades producidas. Si el costo marginal aumenta, se dice que los rendimientos son decrecientes; estos son crecientes si el costo marginal es decreciente. Si se considera, por ejemplo, la actividad de un servicio hospitalario que recibe 100 pacientes por mes, es probable que el hecho de acoger un 101^o enfermo no influirá mucho sobre los costos de estructura del servicio y será únicamente sobre la carga de trabajo para el personal, sobre los consumibles y productos farmacéuticos necesarios al diagnóstico y al tratamiento del enfermo. La recepción de este 101^o enfermo tendrá un costo marginal inferior que la media de los costos implicados para los 100 primeros pacientes. No hay que deducir que tenemos siempre interés en aumentar la actividad del servicio, porque se llegará un momento en que la capacidad de acogida de la unidad serán sobrepasadas implicando una modificación de estructura para acoger un paciente suplementario. La noción de costo marginal es particularmente valiosa en la medida puede servir de criterio de juicio para decisiones en relación con opciones no independientes o sobre elecciones arancelarias.

En economía también se utiliza las derivadas para la elasticidad e importantes funciones económicas.

La elasticidad de la demanda que experimenta la cantidad demandada es consecuencia de una variación en el precio; mide la intensidad de la respuesta tras una variación en el precio.

Derivadas En Medicina

Variedad de funciones biológicas
- Análisis FOT

Con estas consideraciones y tras varios años de estudios de las funciones
cardiovasculares de presión y velocidad de la sangre, proponemos que el estudio de la variabilidad de la presión arterial, bajo diferentes condiciones hemodinámicas, se realice gráficamente.

En efecto, una marcada tendencia actual en el estudio del estado o condición
cardiovascular de los pacientes, es la observación de las formas de las ondas de
presión arterial (p (t)) y su análisis mediante métodos matemáticos. El cálculo más
utilizado es la obtención de la derivada (dp/dt) máxima, y existen numerosas publicaciones que correlacionan este parámetro con otras mediciones más complejas como el índice cardiaco y otros cuadros patológicos [2, 3,4,]. Su demostrada utilidad clínica ha llevado a la elaboración de software comercial, que permiten un cálculo automático de dicho parámetro a partir de señales de pulso arterial.

Nosotros hemos desarrollado y aplicado otro método matemático elemental,
utilizando el plano de fase de la dinámica no lineal (función biológica p (t) versus su primera derivada dp/dt), al estudio de las ondas pulsátiles de origen cardiovascular, y que hemos denominado Fast Orbital Transform (FOT).

Esta herramienta permite transformar los gráficos de ondas periódicos (ondas de pulsos, ondas de ECG, etc.) en órbitas, es decir, transforma fenómenos periódicos en cíclicos dejando el tiempo como parámetro, permitiendo visualizar nítidamente cambios imperceptibles en los registros originales.
En efecto, este procedimiento matemático elemental permite estimar, entre otros
varios parámetros, la variabilidad de las presiones sistólicas y diastólicas de un modo rápido y sencillo.

Las derivadas tienen una aplicación muy importante en todas las ramas de la ciencia, y por supuesto que en la medicina también. La derivada, para dar una definición informal, estudia la razón de...


Derivada en psicología

Problemas que planteados en psicología

- Primer problema

El primer problema con que nos enfrentamos es el de expresar los conceptos, y los supuestos de la teoría, en lenguaje matemático. En las teorías socioeconómicas de enfoque marginalista, la resolución de un problema viene facilitada porque en dicho enfoque se admiten los siguientes extremos:

a) Que las variables socioeconómicas son susceptibles de ser expresadas por números reales y que admiten variaciones infinitamente pequeñas. Es decir, son variables reales continuas.

b) Que las relaciones existentes entre las variables socioeconómicas pueden ser expresadas por funciones reales de diversos tipos, que suelen ser continuas y derivables repetida o iterativamente.

De hecho, la expresión de los conceptos en forma matemática está posibilitada por las dos características anteriores. Pero las dos características que admite el enfoque marginalista no solamente posibilitan la expresión de los conceptos en términos matemáticos sino que, además, permiten expresar los supuestos de la teoría en forma de ecuaciones (o inecuaciones) que forman el modelo matemático. Los supuestos de la teoría especifican cuáles son las relaciones que existen entre las variables socioeconómicas, y al ser estas relaciones expresables por medio de funciones reales, basta con utilizar el gran arsenal de funciones reales de que dispone la Matemática para poder expresar los supuestos de la teoría en forma de ecuaciones o inecuaciones. De este modo, queda la teoría expresada como un sistema de ecuaciones que constituyen la formulación del modelo matemático de la teoría en cuestión. Además, en muchos casos puede hacerse una representación gráfica del modelo, lo que le hace mucho más intuitivo.

- Segundo problema

El segundo problema que se nos plantea, una vez ya formulado el modelo, es el de deducir las variables endógenas en función de las exógenas y de los parámetros que pueden figurar en las relaciones que forman el modelo.

Si se tiene en cuenta que un modelo matemático no es otra cosa que un sistema de ecuaciones en el que las incógnitas son las variables endógenas, se comprende fácilmente que el problema de deducir los valores de las variables endógenas en función de las exógenas y de los parámetros, requiere la utilización de “técnicas matemáticas” para resolver sistemas de ecuaciones. Estas técnicas son muy variables dependiendo de la naturaleza de las ecuaciones que forman el modelo.

Las más usuales, en cualquier caso, son las siguientes:

• Cuando el modelo consiste en un sistema de ecuaciones lineales, ha de recurrirse a las “técnicas de resolución de sistemas lineales”, donde la discusión del conocido teorema de Rouché-Frobenius-Krönecker adquiere singular relevancia. Si el número de ecuaciones es elevado, resulta preciso recurrir a los Métodos Matriciales, que presentan la gran ventaja de ser resueltos con el auxilio del ordenador y el software adecuado.
• Cuando el modelo consista en optimizar (maximizar o minimizar) una función cuyas variables estén sometidas a restricciones dadas por igualdades, la resolución del modelo requiere el empleo de las técnicas matemáticas propias del “Cálculo de Extremos Relativos” (máximos y mínimos locales) propias del Cálculo Infinitesimal clásico, como el método de los multiplicadores u operadores de Lagrange.
• Cuando el modelo consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal cuyas variables estén sometidas a restricciones dadas por desigualdades lineales, ha de recurrirse a las técnicas de la “Programación lineal”, que es una parte de la Investigación Operativa.
• Cuando el modelo consiste en optimizar una función no lineal cuyas variables están sometidas a restricciones dadas por desigualdades lineales o no lineales, la resolución del modelo ha de hacerse a través de las técnicas matemáticas de la “Programación no lineal”, también propias de la Investigación de Operaciones.

Mediante el empleo de las técnicas anteriores, o bien de otras varias no mencionadas, se resuelve el problema de deducir los valores de las variables endógenas en función de las exógenas y de los parámetros. Es precisamente en esta fase deductiva donde las Matemáticas colaboran en forma esencial con el análisis psicológico. La deducción matemática presenta la ventaja de su rapidez y de llegar allí donde la deducción verbal le es a veces imposible, como ya hemos señalado en la Introducción al presente libro. El dominio de las mencionadas técnicas matemáticas resulta de vital importancia si se quiere llegar a emplear el lenguaje matemático en los análisis psicológicos. Dicho dominio exige que, previamente, se conozcan las propiedades esenciales de las funciones reales, tanto de una variable como de varias.

- Tercer problema

El tercero y último de los problemas que presenta un modelo matemático es el de deducir las conclusiones del modelo. Estas conclusiones suelen expresarse analizando cómo se ven afectados los valores de las variables endógenas, antes calculados, al producirse una alteración en una de las variables exógenas o en uno de los parámetros. Las variaciones que experimentan las variables endógenas ante una alteración en una de las variables exógenas o parámetros constituyen las “Predicciones del Modelo”. Estas predicciones son las que deben servir de base a la hora de tomar decisiones terapéuticas o bien por parte del psicólogo experimentador.

La deducción de las conclusiones del modelo suele requerir el uso de las derivadas parciales. Para analizar como se ve afectado el valor de una de las variables endógenas ante una alteración en una de las variables exógenas, basta con calcular la derivada parcial de la variable endógena respecto a la exógena.

La exposición efectuada hasta aquí ha pretendido resaltar dos cuestiones, sin ánimo de dejarlas resueltas:

• La primera de ellas es un intento de clarificar de qué manera las Matemáticas van a servir a las teorías psicológicas.
• La segunda de las cuestiones es la de anticipar cuáles van a ser las necesidades matemáticas, o parte de dichas necesidades, que demandan los análisis de enfoque marginalista.

Resumiendo todo lo expuesto hasta ahora, cabe destacar lo siguiente:

• Que muchas de las teorías psicológicas, de carácter deductivista, pueden ser expuestas en forma matemática a través de los modelos matemáticos.
• Que el manejo de un modelo matemático presenta tres problemáticas diferenciadas temporalmente, a saber:

1. Formulación del modelo.

2. Deducción de los valores de las variables endógenas en función de las exógenas y de los parámetros.

3. Deducción de las conclusiones del modelo, analizando cómo se ven afectados los valores de las variables endógenas ante una alteración en una de las variables exógenas o parámetros.

- Que la resolución de las anteriores disyuntivas requiere, desde el lado matemático, conocer las siguientes cuestiones:

a) Las propiedades generales de las funciones reales, tanto de una como de varias variables reales, así como los conceptos matemáticos de las mismas, orientado este estudio a exponer los conceptos en forma matemática y a expresar los supuestos de la teoría en la forma de un sistema de ecuaciones o inecuaciones que constituyen la formulación del modelo.

b) El desarrollo de técnicas matemáticas diversas (resolución de sistemas lineales, cálculo de extremos relativos, programación lineal y lineal paramétrica, programación no lineal, cuadrática, dinámica, en números enteros, hiperbólica, etc.) con las que se haga posible deducir los valores de las variables endógenas en función de las exógenas y de los parámetros.

c) El cálculo de derivadas parciales, tanto de funciones simples o explícitas como de funciones compuestas o implícitas, con las que se haga posible la deducción de las conclusiones del modelo cuando se analicen cómo se ven afectados los valores de las variables endógenas ante una alteración de una de las variables exógenas o parámetros